Pour étudier la dérivabilité de $f$ au point $a$, quelle limite faut-il calculer ?

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)+f(a)}{x-a}$

Une fonction est définie par morceaux avec une branche pour $x\ge a$ et une autre pour $x<a$. Quelle branche permet de calculer $f(a)$ ?

La branche définie pour $x\ge a$

La moyenne des deux expressions

Selon la définition donnée dans la leçon, quand dit-on que $f$ est dérivable sur $]a;b[$ ?

Elle est dérivable en tout point de $]a;b[$.

Elle est dérivable seulement en $a$ et en $b$.

Elle est dérivable seulement à droite en $a$.

Elle est continue sur $\mathbb{R}$.

Men l-fekra l 20/20.

La dérivabilité — Mathématiques 2ème Bac

Mathématiques
Sciences Physiques et SVT

Dérivabilité en un point et équation de la tangente, dérivées à droite et à gauche et demi-tangentes, dérivabilité sur un intervalle, règles usuelles de dérivation, dérivée d’une composée et d’une fonction réciproque.

6leçons vidéo
12exercices corrigés
126questions de quiz
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Khtwa b khtwa.

Au programme

Chaque leçon est une vidéo courte avec son résumé, ses points de contrôle et son quiz.

Le cours6 leçons

Dérivabilité en un point et tangentes
9 min
Le cours présente la limite définissant la dérivée en un point, les trois résultats possibles et leur interprétation géométrique, puis les équations des tangentes et un moyen de les retenir.
Dérivabilité à droite et à gauche
12 min
Rappel des limites latérales, distinction des dérivées à droite et à gauche, interprétation par les demi-tangentes et conditions de dérivabilité en un point.
Dérivabilité sur un intervalle
13 min
Le cours présente les différents cas de dérivabilité sur un intervalle, puis étudie la dérivabilité de f(x)=√(x−1) sur [1;+∞[.
Règles usuelles de dérivation
20 min
Le cours présente les règles usuelles de dérivation, puis les applique à des expressions polynomiales, quotients, puissances, racines et fonctions composées.
Dérivabilité et dérivée d'une composée
15 min
Le cours présente l’écriture d’une composée, ses conditions de dérivabilité, puis leur application et le calcul de la dérivée.
Dérivabilité de la fonction réciproque
13 min
Présentation des conditions de dérivabilité d’une fonction réciproque, puis application à f(x)=x³+x sur ℝ.

Exercices corrigés en vidéo12

Exercice 1
Taux d'accroissement et tangente
Méthode par le taux d’accroissement, simplification des formes indéterminées et interprétation géométrique des résultats.
20 min
Exercice 2A
Valeur absolue et demi-tangentes
La leçon étudie la dérivabilité unilatérale, les demi-tangentes et un exemple avec une valeur absolue au point 1.
28 min
Exercice 2B
Fonction par morceaux et demi-tangente
La vidéo présente l’étude de la dérivabilité latérale d’une fonction définie par morceaux en x₀=1, l’interprétation géométrique et l’équation de la demi-tangente oblique.
16 min
Exercice 3
Dérivabilité à droite en 0
Le cours présente la dérivabilité de fonctions polynomiales, rationnelles et avec racine carrée, puis étudie la dérivabilité à droite en 0 pour f(x)=x√x.
21 min
Exercice 4A
Règles de dérivation
La vidéo présente les règles de dérivation et leur application à un polynôme, à un produit puis à un quotient, en s’arrêtant avant l’étude du discriminant.
16 min
Exercice 4B
Dérivées usuelles et composées
Le cours applique successivement les règles de dérivation de l’inverse, des puissances, des racines, des produits, des fonctions trigonométriques et des quotients.
23 min
Exercice 5A
Tableaux de variations
Le cours présente la méthode d’étude d’une fonction à travers trois exemples : déterminer le domaine de définition, calculer la dérivée, étudier son signe et construire le tableau de variation.
26 min
Exercice 5B
Variations de x+1/x et √(x²−4)
Le cours poursuit l’étude de plusieurs fonctions : détermination des domaines, calcul des dérivées, tableaux de signes et de variations, puis consignes pour les exercices suivants.
15 min
Exercice 6
Dérivée d'une fonction composée
Application de la règle de dérivation d’une composée à deux exemples, avec vérification des conditions de dérivabilité et détermination des images d’intervalles.
28 min
Exercice 7
Dérivée de f⁻¹ pour x³+x−1
Étude de f(x)=x³+x−1, de sa croissance et de sa fonction réciproque, puis calcul de (f⁻¹)'(1).
16 min
Exercice 8
Dérivée de f⁻¹ pour x+√x
Étude de la continuité, de la monotonie et de la bijection de f(x)=x+√x sur [0,+∞[, puis calcul de f(4) et de (f⁻¹)'(6).
13 min
Exercice 9
TVI et dérivée de f⁻¹
Étude de f(x)=x³+3x−1 : croissance, existence d’une unique solution α de f(x)=0, détermination de l’image J et calcul de (f⁻¹)'(0).
14 min

L-mouhim f l-mouhim.

L’essentiel du cours

Les définitions, repères et formules des premières leçons, tirés des fiches du chapitre.

La relation clé: $\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ À retenir toute l’année.
Le point étudié: $(a\,;f(a))$ Le point de contact de la tangente.
Trois résultats: $0$ , $\ell\neq0$ ou $\pm\infty$ Chacun a sa conclusion.
À l’examen: Dérivabilité, tangente et son équationBase des exercices sur les fonctions.

À droite: $x\to a^+$ : signe $+$ En rouge au tableau.
À gauche: $x\to a^-$ : signe $-$ En vert au tableau.
Nouveau mot: demi-tangenteEt non plus « tangente ».
Dérivable en a: $f'_d(a)=f'_g(a)$ Trois conditions à vérifier.

Définition

Étudier la dérivabilité de f au point a

On calcule la limite du taux d’accroissement $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ lorsque $x$ tend vers $a$ . On a besoin de l’expression de $f(x)$ et de l’image $f(a)$ du point étudié.

À retenir

Nombre dérivé ou dérivée : deux noms, une seule chose

Quand la limite donne un nombre (et pas l’infini), ce nombre se note $f'(a)$ ; on l’appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$ , ou la dérivée de $f$ en $a$ .

À retenir

Sens géométrique de f′(a)

Quand il existe, le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à $(C_f)$ au point $(a;f(a))$ . Qu’elle monte ou qu’elle descende, une tangente de pente non nulle est dite oblique.

formules du chapitre

\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)

Si cette limite est un nombre réel, ce nombre s’appelle le nombre dérivé de f en a.

Les trois équations à connaître

Tangente horizontale $y=f(a)$
Tangente oblique $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
Tangente verticale $x=a$

(T):\ y=2x-4

Tangente à la courbe de f(x) = x² − 4x + 5 au point A(3 ; 2).

Jarreb rassek.

Teste-toi maintenant

5 questions parmi les 126 du chapitre. Réponds, la correction s’affiche.

Question 1 sur 5
Pour étudier la dérivabilité de $f$ au point $a$ , quelle limite faut-il calculer ?
Pas tout à fait. Réponse : A
La vidéo utilise le taux d'accroissement $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ ; sa valeur permet ensuite de conclure sur la dérivabilité au point $a$ .
Question 2 sur 5
Une fonction est définie par morceaux avec une branche pour $x\ge a$ et une autre pour $x<a$ . Quelle branche permet de calculer $f(a)$ ?
Pas tout à fait. Réponse : A
La valeur au point a appartient à la branche dont la condition contient l'égalité. Ici, c'est la branche définie pour x ≥ a.
Question 3 sur 5
Selon la définition donnée dans la leçon, quand dit-on que $f$ est dérivable sur $]a;b[$ ?
Pas tout à fait. Réponse : A
La leçon définit cette propriété par la dérivabilité en tout point de l'intervalle ouvert $]a;b[$ , et non par une vérification limitée aux extrémités.
Question 4 sur 5
Pour $f(x)=4x-3$ , quelle est la dérivée obtenue dans la vidéo ?
Pas tout à fait. Réponse : A
La dérivée de $4x$ est $4$ et celle de la constante $3$ est $0$ . On obtient donc $f'(x)=4$ .
Question 5 sur 5
Quelle relation exprime la troisième condition de dérivabilité de $g\circ f$ lorsque $f$ est définie sur $I$ et $g$ sur $J$ ?
Pas tout à fait. Réponse : A
La vidéo retient l’inclusion $f(I)\subseteq J$ . L’égalité $f(I)=J$ est un cas particulier possible, mais elle n’est pas nécessaire pour appliquer le critère.

Kmmel tri9ek.

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Dérivabilité en un point et tangentes

Dérivabilité à droite et à gauche

Dérivabilité sur un intervalle

Règles usuelles de dérivation

Dérivabilité et dérivée d'une composée

Dérivabilité de la fonction réciproque

Exercices corrigés en vidéo12

Taux d'accroissement et tangente

Valeur absolue et demi-tangentes

Fonction par morceaux et demi-tangente

Dérivabilité à droite en 0

Règles de dérivation

Dérivées usuelles et composées

Tableaux de variations

Variations de x+1/x et √(x²−4)

Dérivée d'une fonction composée

Dérivée de f⁻¹ pour x³+x−1

Dérivée de f⁻¹ pour x+√x

TVI et dérivée de f⁻¹