Quelle condition permet d’affirmer que la droite $y=b$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ ?

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ ou $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$, avec $b$ réel

$\lim_{x\to0}f(x)=b$ avec $b$ réel

$\lim_{x\to b}f(x)=+\infty$ ou $\lim_{x\to b}f(x)=-\infty$

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ avec $b$ réel

Si $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$, quel critère donne une branche parabolique de direction $(Ox)$ ?

$\lim\dfrac{f(x)}{x}=\pm\infty$

Avec $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a$, $a$ réel non nul, quelle condition sur $\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-ax\big)$ donne une asymptote oblique ?

Cette limite est un réel $b$, éventuellement nul

Cette limite vaut $+\infty$ ou $-\infty$

Cette limite est un réel $b$ nécessairement non nul

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$. Quelle propriété est correcte ?

Si $f'(x)<0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$

Si $f'(a)=0$, alors $f$ admet forcément un extremum en $a$

Si $f(x)<0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$

Si $f'(x)<0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$

Quelles lignes figurent dans un tableau de concavité de $\mathcal{C}_f$ ?

La ligne de $x$, celle du signe de $f''(x)$ et celle de la concavité de $\mathcal{C}_f$.

La ligne de $x$ et celle de $f(x)$ uniquement.

La ligne de $x$, celle de $f(x)$ et celle du signe de $f'(x)$.

La ligne de $x$, celle du signe de $f'(x)$ et celle des variations de $f$.

Men l-fekra l 20/20.

L’étude de fonctions — Mathématiques 2ème Bac

Mathématiques
Sciences Physiques et SVT

Étudier une fonction de bout en bout : branches infinies, asymptotes verticales, horizontales et obliques, branches paraboliques, variations, concavité et points d’inflexion, position relative de la courbe et d’une droite, parité et éléments de symétrie.

12leçons vidéo
20exercices corrigés
226questions de quiz
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Khtwa b khtwa.

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Chaque leçon est une vidéo courte avec son résumé, ses points de contrôle et son quiz.

Le cours12 leçons

Branches infinies : asymptotes verticales et horizontales
30 min
Une limite infinie en un réel a donne l’asymptote verticale x = a ; une limite réelle b en ±∞ donne l’asymptote horizontale y = b. Signes de 0⁺ et 0⁻, rédaction et tracé sur deux fonctions rationnelles.
Branches paraboliques de direction (Ox) et (Oy)
20 min
Quand f(x) tend vers l’infini, la limite de f(x)/x donne la direction : 0 pour (Ox), ±∞ pour (Oy). Exemples : √(x + 1) au voisinage de +∞ et x² − 2x + 3 aux deux infinis.
Asymptote oblique et direction asymptotique y = ax
38 min
Quand f(x)/x tend vers un réel a non nul : calculer a puis b, reconnaître l’asymptote oblique y = ax + b ou la branche parabolique de direction y = ax, et vérifier directement une droite donnée.
Les variations d’une fonction
25 min
Le signe de f′ commande les variations de f : calculer f′, résoudre f′(x) = 0, étudier son signe et dresser le tableau de variations, sur x² − 4x + 6 et x³ − 6x² + 6.
Concavité et points d’inflexion
25 min
Le signe de f″ donne la concavité : f″ > 0, courbe convexe ; f″ < 0, courbe concave ; un changement de signe donne un point d’inflexion. Exemples : x³ − 6x² + 6 (un point) et x⁴ − 6x² (deux points).
Position relative de la courbe et d’une droite
23 min
Le signe de f(x) − (ax + b) dit si la courbe est au-dessus ou au-dessous de la droite ; ses zéros dans le domaine sont les points d’intersection. Exemples : x − 2√x + 2 face à y = x, et une fonction rationnelle face à son asymptote.
Intersections de la courbe avec les axes
9 min
Avec (Ox) : résoudre f(x) = 0 et donner les points (x ; 0). Avec (Oy) : calculer f(0), si 0 est dans le domaine. Exemple : x² − 5x + 6 coupe (Ox) en (2 ; 0) et (3 ; 0), et (Oy) en (0 ; 6).
Fonction impaire
21 min
Domaine symétrique par rapport à 0 et f(−x) = −f(x) : la courbe est symétrique par rapport à l’origine. Méthode de démonstration sur f(x) = (x² − 1)/x, et f(0) = 0 quand 0 est dans le domaine.
Fonction paire
12 min
Domaine symétrique par rapport à 0 et f(−x) = f(x) : la courbe est symétrique par rapport à l’axe (Oy). Rédaction complète sur f(x) = (x³ − 2x)/x, et la différence avec une fonction impaire.
Axe de symétrie
13 min
La droite x = a est un axe de symétrie de la courbe si 2a − x reste dans le domaine et f(2a − x) = f(x). Démonstration complète pour la parabole x² − 6x + 5 et son axe x = 3.
Centre de symétrie
18 min
Le point I(a ; b) est un centre de symétrie de la courbe si 2a − x reste dans le domaine et f(2a − x) + f(x) = 2b. Démonstration complète pour (2x + 1)/(x − 1) et le centre I(1 ; 2).
Étude de fonctions
Choisis un sujet du bac ou tape ta fonction : domaine, limites, dérivée, variations, convexité, réciproque et suites, pas à pas.

Exercices corrigés en vidéo20

Niveau 1
Exercice 1 · Étude complète de x² − 4x + 3
Domaine, dérivée et son signe, tableau de variations avec le minimum en (2 ; −1), puis intersections avec les axes : (1 ; 0), (3 ; 0) et (0 ; 3).
16 min
Niveau 1
Exercice 2 · Fonction homographique (2x + 1)/(x − 1)
Domaine, limites en ±∞ et en 1, asymptotes x = 1 et y = 2, dérivée −3/(x − 1)² et tableau de variations, puis le centre de symétrie I(1 ; 2).
16 min
Niveau 1
Exercice 4 · √x + 1 et la demi-tangente verticale
Domaine [0 ; +∞[, dérivabilité à droite en 0 (le taux tend vers +∞ : demi-tangente verticale vers le haut en (0 ; 1)), puis f′(x) = 1/(2√x) > 0 et le tableau de variations.
12 min
Niveau 2
Exercice 1 · x − 2√x + 2 et son minimum
Domaine [0 ; +∞[, limite en +∞ en écrivant x = (√x)², dérivée (√x − 1)/√x et son signe, tableau de variations et minimum f(1) = 1.
12 min
Niveau 2
Exercice 2 · Asymptotes et position relative
f(x) = x − 1 − 4/√(x + 1) : domaine ]−1 ; +∞[, asymptote verticale x = −1, asymptote oblique y = x − 1 en +∞, et courbe toujours au-dessous de cette droite.
13 min
Niveau 2
Exercice 3 · Une fonction à racine et ses deux asymptotes
f(x) = (x + 1 − √(x² + 1))/√(x² + 1) : domaine ℝ, asymptotes horizontales y = −2 en −∞ et y = 0 en +∞ (avec √x² = −x en −∞), dérivée (1 − x)/(x² + 1)^(3/2) et maximum √2 − 1 en x = 1.
24 min
Niveau 2
Exercice 4 · x/√(x² − 2x + 2)
Domaine ℝ par le discriminant, asymptotes y = 1 en +∞ et y = −1 en −∞ (√x² = |x|), dérivée (2 − x)/(x² − 2x + 2)^(3/2) et maximum f(2) = √2.
17 min
Niveau 3
Exercice 2 · (x + 4)√(x + 1) − 3x
Domaine [−1 ; +∞[, dérivabilité à droite en −1 (demi-tangente verticale vers le haut en A(−1 ; 3)), dérivée 3(√(x + 1) − 1)²/(2√(x + 1)) ≥ 0 et fonction croissante.
33 min
Niveau 3
Exercice 3 · x + √(x² + 1)
Domaine ℝ, asymptote oblique y = 2x en +∞ et asymptote horizontale y = 0 en −∞ par l’expression conjuguée, puis la dérivée (x + √(x² + 1))/√(x² + 1).
24 min
Niveau 3
Exercice 4 · √x + 1/(√x − 1) et son point d’inflexion
Domaine [0 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[, dérivée (√x − 2)/(2(√x − 1)²) et minimum local f(4) = 3, dérivée seconde (3 − √x)/(4√x(√x − 1)³) et point d’inflexion I(9 ; 7/2).
34 min
Niveau 3
Exercice 5 · x/√(x² − x − 2)
Signe du trinôme et domaine ]−∞ ; −1[ ∪ ]2 ; +∞[, asymptotes y = −1 et y = 1, dérivée −(x + 4)/(2(x² − x − 2)^(3/2)) et maximum local f(−4) = −2√2/3.
32 min
Exploiter un tableau
Exercice 1 · Tout lire dans le tableau
À partir d’un tableau de variations : domaine, tangentes horizontales en (−1 ; 3) et (2 ; −1), asymptotes y = 1 et y = 0, réciproque sur [2 ; +∞[ avec J = [−1 ; 0[, et unicité de la solution de f(x) = 0 sur [−1 ; 2].
27 min
Exploiter un tableau
Exercice 2 · Valeur interdite et branches infinies
Lire un tableau avec une valeur interdite en −1 : domaine, quatre limites, asymptotes y = −1 et x = −1, branche parabolique vers (Oy) en +∞, tangente horizontale y = 1 en x = 2, puis le tracé.
29 min
Exploiter un tableau
Exercice 3 · Domaine, limites et branches
Lire un tableau de variations : corriger une borne incluse à tort, en déduire le domaine ]−2 ; +∞[, l’asymptote verticale x = −2, la branche parabolique vers (Ox), la tangente horizontale et les intersections avec les axes.
21 min
Problème 1
Partie 1 · Domaine, limites et asymptotes
f(x) = x/√(x² − x − 2) : signe du trinôme et domaine ]−∞ ; −1[ ∪ ]2 ; +∞[, limites ±1 à l’infini (√x² = |x|) et asymptotes x = −1, x = 2, y = −1 et y = 1.
34 min
Problème 1
Partie 2 · Variations et fonction réciproque
Dérivée de x/√(x² − x − 2), signe de f′, tableau de variations avec f(−4) = −2√2/3, puis bijection de ]2 ; +∞[ sur ]1 ; +∞[ et existence de la réciproque.
26 min
Problème 1
Partie 3 · Tracer la courbe
Tracer la courbe de x/√(x² − x − 2) : repère, quatre asymptotes, maximum local A(−4 ; −2√2/3) avec sa tangente horizontale, et deux branches séparées par la bande [−1 ; 2] où la courbe n’existe pas.
7 min
Problème 2
Partie 1 · Domaine, limites et asymptotes
f(x) = x + √(x² + 1) : domaine ℝ, limite +∞ en +∞, asymptote oblique y = 2x par l’expression conjuguée, et asymptote horizontale y = 0 en −∞.
27 min
Problème 2
Partie 2 · Variations, tangente et position relative
f(x) = x + √(x² + 1) : dérivée positive donc f strictement croissante, tangente y = x + 1 en 0, et position de la courbe au-dessus de y = 2x grâce à l’expression conjuguée.
24 min
Problème 2
Partie 3 · La fonction réciproque
f(x) = x + √(x² + 1) : bijection de ℝ sur ]0 ; +∞[, f⁻¹(1) = 0 et (f⁻¹)′(1) = 1, puis tracé de la courbe réciproque par symétrie par rapport à y = x (asymptotes x = 0 et y = x/2, tangente y = x − 1).
30 min

L-mouhim f l-mouhim.

L’essentiel du cours

Les définitions, repères et formules des premières leçons, tirés des fiches du chapitre.

Prérequis: Limites en un nombre et en $+\infty$ ou $-\infty$
Notion clé: Une branche infinie s’approche d’une droite asymptote.
Formules clés: $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ donne $x=a$ ; $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\in\mathbb{R}$ donne $y=b$ .
Examen: Calculer la limite, donner l’interprétation géométrique et tracer l’asymptote.

Prérequis: Limites en $+\infty$ et en $-\infty$ , terme dominant et quotient de fonctions.
Notion clé: Une branche parabolique s’éloigne de l’axe qui lui sert de direction.
Formule clé: Étudier $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}$ .
Examen: Préciser le sens $+\infty$ ou $-\infty$ , la limite obtenue et la direction $(Ox)$ ou $(Oy)$ .

Définition

Définition de l’asymptote verticale

La droite $x=a$ est une asymptote verticale de la courbe $(C_f)$ si, au voisinage de $a$ , la fonction tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ d’un côté au moins : $\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty$ .

Définition

Définition de l’asymptote horizontale

La droite $y=b$ , où $b\in\mathbb{R}$ , est une asymptote horizontale de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ ou de $-\infty$ si la limite de $f(x)$ est le nombre réel $b$ .

Définition

Branche parabolique

Une branche parabolique est une partie de la courbe qui s’éloigne indéfiniment tout en ayant une direction privilégiée. Elle ne se rapproche pas nécessairement d’une droite : contrairement à une asymptote, elle ne « touche » pas une droite à l’infini.

formules du chapitre

\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\pm\infty\quad\text{ou}\quad\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\pm\infty\quad\Longrightarrow\quad x=a

La droite asymptote est verticale : son équation est x = a.

\lim_{x\to+\infty}f(x)=b\in\mathbb{R}\quad\text{ou}\quad\lim_{x\to-\infty}f(x)=b\in\mathbb{R}\quad\Longrightarrow\quad y=b

Le voisinage est indiqué par la limite : +∞ ou −∞.

Arbre de décision

Direction de l’axe des abscisses $\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0$
Direction de l’axe des ordonnées $\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty\ \text{ou}\ -\infty$
Cas de l’asymptote oblique, étudié dans la leçon suivante $\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a\neq 0$

Jarreb rassek.

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5 questions parmi les 226 du chapitre. Réponds, la correction s’affiche.

Question 1 sur 5
Quelle condition permet d’affirmer que la droite $y=b$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ ?
Pas tout à fait. Réponse : A
Pour une asymptote horizontale, $x$ tend vers $\pm\infty$ et $f(x)$ tend vers un réel $b$ .
Question 2 sur 5
Si $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$ , quel critère donne une branche parabolique de direction $(Ox)$ ?
Pas tout à fait. Réponse : A
Si $\dfrac{f(x)}{x}\to0$ , la courbe s’éloigne en direction de l’axe des abscisses.
Question 3 sur 5
Avec $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a$ , $a$ réel non nul, quelle condition sur $\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-ax\big)$ donne une asymptote oblique ?
Pas tout à fait. Réponse : A
Si la limite est un réel $b$ (même $0$ ), l’asymptote est $y=ax+b$ ; si elle est infinie, on a une branche parabolique de direction $y=ax$ .
Question 4 sur 5
Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ . Quelle propriété est correcte ?
Pas tout à fait. Réponse : A
Une dérivée strictement négative sur un intervalle entraîne que $f$ est strictement décroissante. « $f'(a)=0$ donne un extremum » est faux : pour $x^3$ , $f'(0)=0$ sans extremum. Le signe de $f$ , lui, ne dit rien des variations.
Question 5 sur 5
Quelles lignes figurent dans un tableau de concavité de $\mathcal{C}_f$ ?
Pas tout à fait. Réponse : A
Le tableau de concavité contient $x$ , le signe de $f''(x)$ et la concavité de la courbe. On n’y met ni $f'$ ni les variations de $f$ .

Kmmel tri9ek.

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Yallah, wa7d l-khtwa.

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Le cours12 leçons

Branches infinies : asymptotes verticales et horizontales

Branches paraboliques de direction (Ox) et (Oy)

Asymptote oblique et direction asymptotique y = ax

Les variations d’une fonction

Concavité et points d’inflexion

Position relative de la courbe et d’une droite

Intersections de la courbe avec les axes

Fonction impaire

Fonction paire

Axe de symétrie

Centre de symétrie

Étude de fonctions

Exercices corrigés en vidéo20

Exercice 1 · Étude complète de x² − 4x + 3

Exercice 2 · Fonction homographique (2x + 1)/(x − 1)

Exercice 4 · √x + 1 et la demi-tangente verticale

Exercice 1 · x − 2√x + 2 et son minimum

Exercice 2 · Asymptotes et position relative

Exercice 3 · Une fonction à racine et ses deux asymptotes

Exercice 4 · x/√(x² − 2x + 2)

Exercice 2 · (x + 4)√(x + 1) − 3x

Exercice 3 · x + √(x² + 1)

Exercice 4 · √x + 1/(√x − 1) et son point d’inflexion

Exercice 5 · x/√(x² − x − 2)

Exercice 1 · Tout lire dans le tableau

Exercice 2 · Valeur interdite et branches infinies

Exercice 3 · Domaine, limites et branches

Partie 1 · Domaine, limites et asymptotes

Partie 2 · Variations et fonction réciproque

Partie 3 · Tracer la courbe

Partie 1 · Domaine, limites et asymptotes

Partie 2 · Variations, tangente et position relative

Partie 3 · La fonction réciproque

L’essentiel du cours

Définition de l’asymptote verticale

Définition de l’asymptote horizontale

Branche parabolique

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