Parmi les définitions suivantes, laquelle est une suite récurrente (elle exige un terme initial pour calculer les termes) ?

$u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$

$u_n=n^2-1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$

$u_n=3^n+n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$

Dans une récurrence, on a prouvé $P(0)$ et on a prouvé que « $P(n)$ vraie entraîne $P(n+1)$ vraie » pour tout $n\in\mathbb{N}$. Que peut-on conclure ?

$P(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

$P(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ seulement.

$P(n+1)$ est vraie mais on ne sait rien de $P(n)$.

$P(n)$ est vraie seulement pour $n=0$ et $n=1$.

Quelle est la définition correcte d’une suite $(u_n)$ bornée ?

Il existe deux réels $m$ et $M$ tels que $m\le u_n\le M$ pour tout $n$.

Il existe un réel $M$ tel que $u_n\le M$ pour tout $n$.

Pour tout réel $M$, il existe $n$ tel que $u_n\le M$.

Il existe un réel $m$ tel que $u_n\ge m$ pour tout $n$ seulement.

Parmi ces propositions, laquelle caractérise une suite $(u_n)$ croissante ?

$u_{n+1}-u_n\geq0$ pour tout $n$

$u_n$ est majorée par un réel

$u_{n+1}-u_n\leq0$ pour tout $n$

Quel énoncé exprime correctement le critère de convergence vu en cours ?

Toute suite croissante et majorée converge, et toute suite décroissante et minorée converge.

Toute suite majorée converge, qu’elle soit monotone ou non.

Toute suite croissante et minorée converge, et toute suite décroissante et majorée converge.

Toute suite croissante converge, et toute suite décroissante diverge.

Men l-fekra l 20/20.

Suites numériques — Mathématiques 2ème Bac

Mathématiques
Sciences Physiques et SVT

Définition d’une suite et raisonnement par récurrence, suites majorées, minorées et bornées, monotonie, suites arithmétiques et géométriques, limites des suites et critères de convergence.

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Chaque leçon est une vidéo courte avec son résumé, ses points de contrôle et son quiz.

Le cours10 leçons

Introduction et définition d’une suite
16 min
Une suite comme application de ℕ dans ℝ, rôle de ℕ et ℕ*, suite définie par son terme général ou par récurrence.
Rappel : raisonnement par récurrence
23 min
Initialisation, hérédité, conclusion, appliquées à la somme des premiers entiers.
Suites majorées, minorées, bornées
17 min
Définitions, exemples, puis une majoration démontrée par récurrence.
Monotonie d’une suite
14 min
Croissante, décroissante, constante : comparer uₙ₊₁ et uₙ par le signe de uₙ₊₁ − uₙ.
Convergence et encadrement
27 min
Suite croissante majorée, suite décroissante minorée, divergence, puis un exercice récapitulatif.
Introduction aux suites arithmétiques et géométriques
12 min
Repérer une régularité : raison d’une suite arithmétique, raison d’une suite géométrique.
Suite arithmétique
19 min
Définition, terme général, somme de termes consécutifs et suite auxiliaire arithmétique.
Suite géométrique
28 min
Définition, terme général, somme de termes consécutifs et suite auxiliaire géométrique.
Limites des suites
18 min
Formes indéterminées, limite de qⁿ selon q et six exemples de calcul.
Critères de convergence
32 min
Critères de comparaison, théorème des gendarmes et trois applications.

Exercices corrigés en vidéo9

Exercice 1
Partie 1 : suite récurrente
u₀ = 2, uₙ₊₁ = ⅓uₙ + 2 : majoration par récurrence, monotonie et convergence.
16 min
Exercice 1
Partie 2 : suite géométrique auxiliaire
vₙ géométrique, expressions de vₙ et uₙ, limites et sommes.
21 min
Exercice 2
Partie 1 : suite récurrente et critères
Premiers termes, encadrement par récurrence et décroissance de la suite.
33 min
Exercice 2
Partie 2 : suite géométrique auxiliaire
Encadrement, limites, puis une suite auxiliaire géométrique pour l’expression explicite.
22 min
Exercice 3
Partie 1 : suite récurrente homographique
Minoration par récurrence, décroissance et convergence.
24 min
Exercice 3
Partie 2 : suite arithmétique auxiliaire
La suite auxiliaire est arithmétique : terme général, expression de uₙ et sa limite.
16 min
Exercice 4
Partie 1 : suite récurrente
Minoration par 2, monotonie et convergence.
20 min
Exercice 4
Partie 2 : suite géométrique auxiliaire
Encadrement, suite auxiliaire géométrique, expression de uₙ et sa limite.
20 min
Exercice 4
Partie 3 : critères de convergence
Une inégalité, une majoration par deux méthodes, puis la limite de la suite.
26 min

L-mouhim f l-mouhim.

L’essentiel du cours

Les définitions, repères et formules des premières leçons, tirés des fiches du chapitre.

Prérequis: Applications numériques et fonctionsUne suite est aussi une application.
Notion clé: Indice et termeÀ l’indice $n$ correspond le terme $u_n$ .
Formules clés: $u_n=f(n)$ ou $u_{n+1}=f(u_n)$ Deux façons de définir une suite.
Point d’examen: Distinguer $\mathbb{N}$ et $\mathbb{N}^*$ Le premier indice peut être 0 ou 1.

Prérequis: Ensembles $\mathbb{N}$ et $\mathbb{N}^*$ , calcul algébrique et sommes.
Notion clé: Une propriété vraie au premier rang et héréditaire est vraie à tous les rangs suivants.
Formule clé: $\displaystyle\sum_{k=0}^{m}k=\dfrac{m(m+1)}{2}$
Examen: Rédiger l’initialisation, l’hérédité et la conclusion sans oublier l’hypothèse de récurrence.

Définition

Une suite est une application numérique

Une application associe à chaque élément d’un ensemble de départ un unique élément d’un ensemble d’arrivée. Une fonction numérique associe $x$ à $f(x)$ , tandis qu’une suite associe un indice $m$ à un terme $u_m$ .

À retenir

Le premier indice dépend de l’ensemble de définition

On note $\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\}$ et $\mathbb{N}^*=\{1;2;3;4;\ldots\}$ . Une suite définie sur $\mathbb{N}$ commence donc par $u_0$ , tandis qu’une suite définie sur $\mathbb{N}^*$ commence par $u_1$ .

Définition

Le terme général

Une suite définie par $u_n=f(n)$ donne directement le terme de rang $n$ . Cette expression est aussi appelée formule générale ou terme général.

Définition

Une suite récurrente utilise le terme précédent

Une suite récurrente est définie par une relation de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ et par un terme initial. Pour calculer un terme, il faut connaître le terme précédent.

Définition

Principe de récurrence

Soit $P(m)$ une proposition définie pour $m\geq m_0$ . Si $P(m_0)$ est vraie et si, pour tout $m\geq m_0$ , la vérité de $P(m)$ entraîne celle de $P(m+1)$ , alors $P(m)$ est vraie pour tout $m\geq m_0$ .

formules du chapitre

Structure d’une suite récurrente

Relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$
Terme initial $u_0\text{ donné sur }\mathbb{N}$
Terme initial $u_1\text{ donné sur }\mathbb{N}^*$

Jarreb rassek.

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5 questions parmi les 149 du chapitre. Réponds, la correction s’affiche.

Question 1 sur 5
Parmi les définitions suivantes, laquelle est une suite récurrente (elle exige un terme initial pour calculer les termes) ?
Pas tout à fait. Réponse : C
Seule $u_{n+1}=u_n^2-1$ exprime un terme à l’aide du précédent ; les autres donnent $u_n$ directement en fonction de $n$ .
Question 2 sur 5
Dans une récurrence, on a prouvé $P(0)$ et on a prouvé que « $P(n)$ vraie entraîne $P(n+1)$ vraie » pour tout $n\in\mathbb{N}$ . Que peut-on conclure ?
Pas tout à fait. Réponse : C
Initialisation et hérédité donnent $P(0)$ , puis $P(1)$ , $P(2)$ , etc. : la propriété est vraie pour tout entier $n\geq0$ .
Question 3 sur 5
Quelle est la définition correcte d’une suite $(u_n)$ bornée ?
Pas tout à fait. Réponse : A
Une suite est bornée si elle est à la fois minorée par $m$ et majorée par $M$ , donc encadrée : $m\le u_n\le M$ .
Question 4 sur 5
Parmi ces propositions, laquelle caractérise une suite $(u_n)$ croissante ?
Pas tout à fait. Réponse : C
Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal au précédent, c’est-à-dire si $u_{n+1}-u_n\geq0$ pour tout $n$ .
Question 5 sur 5
Quel énoncé exprime correctement le critère de convergence vu en cours ?
Pas tout à fait. Réponse : A
Les deux conditions doivent être cohérentes avec le sens de variation : croissante avec majorée, décroissante avec minorée.

Kmmel tri9ek.

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Introduction et définition d’une suite

Rappel : raisonnement par récurrence

Suites majorées, minorées, bornées

Monotonie d’une suite

Convergence et encadrement

Introduction aux suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique

Suite géométrique

Limites des suites

Critères de convergence

Exercices corrigés en vidéo9

Partie 1 : suite récurrente

Partie 2 : suite géométrique auxiliaire

Partie 1 : suite récurrente et critères

Partie 2 : suite géométrique auxiliaire

Partie 1 : suite récurrente homographique

Partie 2 : suite arithmétique auxiliaire

Partie 1 : suite récurrente

Partie 2 : suite géométrique auxiliaire

Partie 3 : critères de convergence

L’essentiel du cours

Une suite est une application numérique

Le premier indice dépend de l’ensemble de définition

Le terme général

Une suite récurrente utilise le terme précédent

Principe de récurrence

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