Quelle condition caractérise une suite $(u_n)_{n\ge n_0}$ bornée ?

Il existe $m$ et $M$ tels que $m\le u_n\le M$ pour tout $n$.

Il existe seulement un réel $m$ tel que $u_n\ge m$.

Tous les termes de la suite sont égaux à une constante.

Il existe seulement un réel $M$ tel que $u_n\le M$.

À partir d’un certain rang $n_0$, on a $u_n\le v_n$ et $u_n\to+\infty$. Quelle conclusion donne la proposition ?

Aucune conclusion n’est fournie.

Quelle affirmation correspond à la définition donnée pour une suite numérique convergente ?

Elle admet une limite réelle ℓ.

Elle tend obligatoirement vers $+∞$.

Tous ses termes sont compris entre $-1$ et $1$.

Tous ses termes sont égaux à ℓ.

Men l-fekra l 20/20.

Suites numériques — Mathématiques 2ème Bac

Mathématiques
Sciences Mathématiques A et B

Suites majorées, minorées et monotones, suites usuelles, limites infinies et convergence, opérations sur les limites, convergence monotone et encadrement, suites récurrentes et suites adjacentes.

6leçons vidéo
13exercices corrigés
136questions de quiz
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Khtwa b khtwa.

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Chaque leçon est une vidéo courte avec son résumé, ses points de contrôle et son quiz.

Le cours6 leçons

Définition des suites
27 min
Introduction aux suites numériques : définition, notations, modes de définition, exemples et changement d’indice.
Bornes, monotonie et suites usuelles
25 min
Le cours reprend les notions de majoration, minoration et bornitude, étudie la monotonie, puis rappelle les suites arithmétiques et géométriques ainsi que leurs formules de calcul de termes et de sommes.
Limites infinies des suites numériques
18 min
Le cours présente la divergence d’une suite vers +∞ ou −∞, ses définitions, des représentations graphiques, des propriétés de changement de signe et de comparaison, ainsi que des limites de suites usuelles.
Convergence et opérations sur les limites
37 min
Le cours définit la convergence d’une suite, la compare aux limites de fonctions, présente la divergence, les suites usuelles, l’unicité de la limite, la bornitude des suites convergentes et les opérations sur les limites, y compris les cas infinis et les formes indéterminées.
Convergence monotone et encadrement
57 min
Étude des limites, de l’ordre, de la convergence monotone, de l’encadrement et des suites puissances et géométriques.
Suites récurrentes, images et adjacentes
55 min
Le cours présente trois résultats sur les suites numériques : les suites définies par u_{n+1}=f(u_n), les suites v_n=f(u_n) lorsque f est continue, puis les suites adjacentes.

Exercices corrigés en vidéo13

Exercice 1
Suites récurrentes, expressions et limites
Correction d’un exercice portant sur deux suites récurrentes, l’étude de suites auxiliaires, l’expression de U_n et V_n, puis leurs limites.
19 min
Exercice 2
Suite arithmétique auxiliaire
Démonstration que la suite définie par b_n=a_n/n est arithmétique, à partir d’une relation sur les sommes.
21 min
Exercice 3
Suite récurrente : bornes et limite
L’exercice étudie une suite définie comme la moyenne de ses deux termes précédents, puis introduit deux suites auxiliaires pour établir une expression et déterminer une limite.
28 min
Exercice 4
Suite affine : expression et limites
Étude de la suite définie par u_{n+1}=a u_n+b : suite auxiliaire, expression explicite, limites et application numérique.
23 min
Exercice 5
Encadrement d'une somme et limite
Résolution de l’exercice 5 : écriture de la somme, encadrement par le plus petit et le plus grand terme, puis détermination de sa limite.
16 min
Exercice 6
Somme télescopique et convergence
Étude d’une somme de termes inverses de racines carrées, obtention d’une majoration par somme télescopique, puis étude de la croissance et de la convergence de V_n.
27 min
Exercice 7
Limites de sommes avec factorielles
Méthodes de calcul des limites de trois suites : sommes usuelles, décomposition en éléments simples et changement d’indice avec des factorielles.
26 min
Exercice 8
Sous-suites complémentaires et convergence
Démonstration par définition qu’une suite dont les sous-suites paires et impaires ont une même limite converge vers cette limite, puis application à u_n=(-1)^n et aux valeurs d’adhérence.
21 min
Exercice 9
Moyennes arithmétique et géométrique
Résolution de l’exercice 9 : établissement de l’ordre des termes, étude de la monotonie, contrôle de l’écart entre les suites et conclusion qu’elles sont adjacentes.
18 min
Exercice 10
Encadrement et limite d’une suite
Étude des variations des coefficients binomiaux, encadrement de U_n et détermination de sa limite.
34 min
Exercice 11
Radicaux imbriqués : croissance et limite
Étude d’une suite définie par des radicaux imbriqués : calcul des premiers termes, majoration, croissance, convergence et détermination de la limite.
44 min
Exercice 12
Suite récurrente : point fixe et limite
Étude d’un point fixe de f, encadrement de la suite, estimation des écarts à α et détermination de sa limite.
61 min
Exercice 13
Suite récurrente : croissance, convergence
Étude de la suite u₀ ∈ [a,b] et uₙ₊₁ = (uₙ + f(uₙ))/2 : stabilité de l’intervalle, propriété uₙ ≤ f(uₙ), croissance et convergence.
16 min

L-mouhim f l-mouhim.

L’essentiel du cours

Les définitions, repères et formules des premières leçons, tirés des fiches du chapitre.

Suite: $u:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ $u(n)$ se note $u_n$
Notation: $(u_n)$ ≠ $u_n$ la suite ≠ le terme d’indice $n$
Explicite: $u_9=5\times9+4=49$ un seul calcul
Récurrence: $u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$ il faut tous les termes précédents

Bornée: $m\leq u_n\leq M$ majorée ET minorée
Croissante: $u_{n+1}-u_n\geq0$ pour tout $n\in I$
Arithmétique: $u_n=u_p+(n-p)r$ somme $=\dfrac{n-p+1}{2}(u_p+u_n)$
Géométrique: $u_n=u_p\,q^{n-p}$ somme $=u_p\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$ , $q\neq1$

Définition

Définition 0.1

Une suite est une liste ordonnée de nombres réels, c’est-à-dire une application $u:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ . Pour $n\in\mathbb{N}$ , on note $u(n)$ par $u_n$ : c’est le terme général de la suite (aussi appelé terme d’indice $n$ ou de rang $n$ ). La suite est notée $u$ , ou plus souvent $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$ . Si la suite n’est définie qu’à partir d’un entier $n_0>0$ , on la note $(u_n)_{n\geq n_0}$ .

À retenir

Remarque 0.1 (suite)

Les suites rencontrées en pratique sont souvent définies sur $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{N}^*$ . On peut toujours ramener l’étude d’une suite $(u_n)_{n\geq n_0}$ à une suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ en posant $(\forall n\in\mathbb{N})\ x_n=u_{n+n_0}$ . Ainsi $x_0=u_{n_0}$ , $x_1=u_{n_0+1}$ , etc.

Définition

Définition 0.2

La suite $(u_n)_{n\geq n_0}$ est majorée s’il existe un réel $M$ tel que $(\forall n\in I)\ u_n\leq M$ . Elle est minorée s’il existe un réel $m$ tel que $(\forall n\in I)\ u_n\geq m$ . Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Définition

Définition 0.3

La suite $(u_n)_{n\geq n_0}$ est croissante si $(\forall n\in I)\ u_{n+1}-u_n\geq0$ ; décroissante si $(\forall n\in I)\ u_{n+1}-u_n\leq0$ ; constante si $(\forall n\in I)\ u_{n+1}-u_n=0$ . Avec des inégalités strictes, on dit strictement croissante / décroissante.

À retenir

Remarque 0.2 (au tableau)

Si $(u_n)_{n\geq n_0}$ est croissante, alors $(\forall n\in I)\ u_n\geq u_{n_0}$ : elle est minorée par son premier terme. Si elle est décroissante, alors $(\forall n\in I)\ u_n\leq u_{n_0}$ : elle est majorée par son premier terme.

Définition

Définition 0.4

$(u_n)_{n\geq n_0}$ est arithmétique s’il existe un réel $r$ , indépendant de $n$ , tel que $(\forall n\in I)\ u_{n+1}-u_n=r$ . Le nombre $r$ est la raison.

Jarreb rassek.

Teste-toi maintenant

5 questions parmi les 136 du chapitre. Réponds, la correction s’affiche.

Question 1 sur 5
Pour la suite définie par $u_n=(-1)^n$ avec $n\in\mathbb N$ , quelle est la valeur de $u_5$ ?
Pas tout à fait. Réponse : A
Un exposant impair appliqué à $-1$ donne $-1$ . Comme 5 est impair, $u_5=(-1)^5=-1$ .
Question 2 sur 5
Quelle condition caractérise une suite $(u_n)_{n\ge n_0}$ bornée ?
Pas tout à fait. Réponse : D
D’après le cours, une suite est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée : tous ses termes sont compris entre une borne inférieure $m$ et une borne supérieure $M$ .
Question 3 sur 5
À partir d’un certain rang $n_0$ , on a $u_n\le v_n$ et $u_n\to+\infty$ . Quelle conclusion donne la proposition ?
Pas tout à fait. Réponse : A
La suite $v_n$ , qui est au-dessus de $u_n$ à partir de $n_0$ , tend elle aussi vers $+\infty$ .
Question 4 sur 5
Quelle affirmation correspond à la définition donnée pour une suite numérique convergente ?
Pas tout à fait. Réponse : A
Une suite est convergente lorsqu’elle admet une limite réelle ℓ. Dire que $u_n$ tend vers ℓ revient à dire qu’elle converge vers ℓ.
Question 5 sur 5
Une suite $(u_n)$ est positive et convergente vers $\ell$ . Quelle assertion est nécessairement vraie ?
Pas tout à fait. Réponse : A
Une suite positive ne peut pas converger vers une limite négative : sa limite finie $\ell$ est donc positive ou nulle.

Kmmel tri9ek.

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Suites récurrentes, expressions et limites

Suite arithmétique auxiliaire

Suite récurrente : bornes et limite

Suite affine : expression et limites

Encadrement d'une somme et limite

Somme télescopique et convergence

Limites de sommes avec factorielles

Sous-suites complémentaires et convergence

Moyennes arithmétique et géométrique

Encadrement et limite d’une suite

Radicaux imbriqués : croissance et limite

Suite récurrente : point fixe et limite

Suite récurrente : croissance, convergence

L’essentiel du cours

Définition 0.1

Remarque 0.1 (suite)

Définition 0.2

Définition 0.3

Remarque 0.2 (au tableau)

Définition 0.4

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