Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0\in I$. Quelle proposition est vraie ?

Si $f$ est continue en $x_0$, alors $f$ est dérivable en $x_0$.

La dérivabilité et la continuité sont deux propriétés équivalentes.

La dérivabilité implique seulement que $f$ est définie en $x_0$.

Quelles conditions permettent d’assurer que $f$ admet une fonction réciproque dérivable sur $J=f(I)$ ?

$f$ est continue, strictement monotone et dérivable sur $I$, avec $f'(x)\neq 0$ sur $I$

$f$ est strictement décroissante, mais pas nécessairement continue

$f$ est dérivable sur $I$, sans condition sur $f'(x)$

$f$ est seulement continue sur $I$

Quelles conditions permettent d’appliquer le théorème de Rolle à une fonction $f$ sur $[a,b]$ ?

$f$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et $f(a)=f(b)$

$f$ est continue sur $]a,b[$, dérivable sur $[a,b]$ et $f(a)=f(b)$

$f$ est dérivable sur $[a,b]$ et vérifie seulement $f(a)=f(b)$

$f$ est continue sur $[a,b]$ et vérifie seulement $f(a)<f(b)$

Quelles sont les conditions permettant d’appliquer le théorème des accroissements finis à $f$ sur $[a,b]$ avec $a<b$ ?

$f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$

$f$ est continue et dérivable uniquement en $a$ et en $b$

$f$ est dérivable sur $[a,b]$ et continue seulement sur $]a,b[$

$f$ est continue sur $]a,b[$ et dérivable sur $[a,b]$

Si $f$ est strictement croissante sur un intervalle $I$, quelle propriété possède la fonction $-f$ sur $I$ ?

Elle est strictement décroissante

Elle est strictement croissante

Men l-fekra l 20/20.

Dérivation et étude de fonction — Mathématiques 2ème Bac

Mathématiques
Sciences Mathématiques A et B

Dérivabilité, continuité et composition, dérivée d’une fonction réciproque, théorème de Rolle et accroissements finis, monotonie, symétrie, périodicité et convexité d’une courbe, asymptotes et branches paraboliques, puis primitives.

8leçons vidéo
15exercices corrigés
153questions de quiz
13 h 48de vidéo

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Khtwa b khtwa.

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Chaque leçon est une vidéo courte avec son résumé, ses points de contrôle et son quiz.

Le cours8 leçons

Dérivabilité, continuité et composition
18 min
Dérivation et étude de fonction - Partie 1
Dérivée d’une fonction réciproque
35 min
Dérivation et étude de fonction - Partie 2
Théorème de Rolle et accroissements finis
29 min
Dérivation et étude de fonction - Partie 3
Inégalité des accroissements finis
18 min
Dérivation et étude de fonction - Partie 4
Monotonie et symétrie d’une courbe
22 min
Dérivation et étude de fonction - Partie 5
Fonctions périodiques et convexité
41 min
Dérivation et étude de fonction - Partie 6
Asymptotes et branches paraboliques
37 min
Dérivation et étude de fonction - Partie 7
Primitives d’une fonction
36 min
Dérivation et étude de fonction - Partie 8

Exercices corrigés en vidéo15

Exercice 1
Limite de cos(1/x) et dérivabilité
Étude de g(x)=cos(1/x) en 0, puis de f(x)=x²sin(1/x) : continuité, dérivabilité et discontinuité de la dérivée.
51 min
Exercice 2
Dérivabilité et inégalité trigonométrique
Correction progressive d’un exercice sur la dérivabilité, les variations, l’existence d’un unique zéro de f′ et une inégalité trigonométrique.
67 min
Exercice 3
Fonction réciproque de x³+x
La correction établit que f est une bijection de ℝ sur ℝ, étudie la parité et les variations de sa réciproque h, puis traite une inégalité, une limite, la dérivabilité de h et le calcul de h'(2).
46 min
Exercice 4
Majorer une combinaison de coefficients
Étude de la fonction f, calcul de sa dérivée et utilisation de limites pour obtenir une majoration de |α₁+2α₂+3α₃|.
20 min
Exercice 5
Minimum d'une fonction et cas d'égalité
Étude de la fonction paramétrée f(x)=1/x(x+α)^3, puis déduction d’une inégalité et détermination de la condition d’égalité.
46 min
Exercice 6
Limite par le nombre dérivé
Le cours rappelle le quotient différentiel, transforme une expression pour faire apparaître la dérivée, puis applique le résultat à une limite impliquant le cosinus.
27 min
Exercice 7
Arctangente composée et constantes
Étude de la fonction f(x)=arctan((x−1)/(x+1)), calcul de sa dérivée et détermination de constantes sur deux intervalles.
30 min
Exercice 8
Injectivité et croissance
La séance corrige les deux questions de l’exercice 8 en mobilisant la définition de l’injectivité, le théorème de Rolle et le théorème des valeurs intermédiaires.
34 min
Exercice 9
Inégalités trigonométriques et TAF
Démonstration des majorations pour le sinus et le cosinus, puis de l’inégalité inverse pour la tangente, en appliquant le théorème des accroissements finis et en rédigeant chaque étape avec précision.
29 min
Exercice 10
Primitive de √(1−x²) et sinus
Étude de f(x)=√(1−x²), de sa primitive F s’annulant en 0, puis exploitation de la composée avec le sinus et détermination d’une expression de F.
55 min
Exercice 11
Théorème de Cauchy et limites
L’exercice mobilise le raisonnement par l’absurde, les théorèmes de Rolle et de Cauchy, puis une application aux limites et un contre-exemple à la réciproque.
68 min
Exercice 12
Sommes binomiales par dérivation
L’exercice utilise le binôme de Newton et la dérivation de f(x)=(x+1)^n pour simplifier les expressions A, B et C.
50 min
Exercice 13
Encadrement des accroissements
Démonstration de l’encadrement des accroissements d’une fonction dont la dérivée est bornée, puis application à f(x)=√(1+x) sur [0;1/2].
16 min
Exercice 14
Inégalité des accroissements et arctan
Démonstration des propriétés de H et K, établissement d’une inégalité entre accroissements, puis application à l’arctangente.
17 min
Exercice 15
Dérivées successives par récurrence
Étude par récurrence de la forme des dérivées successives de f, puis dérivation d’une équation différentielle à l’aide de la formule de Leibniz pour obtenir une relation entre les polynômes P_n.
36 min

L-mouhim f l-mouhim.

L’essentiel du cours

Les définitions, repères et formules des premières leçons, tirés des fiches du chapitre.

Proposition 0.1: dérivable en $x_0$ $\Rightarrow$ continue en $x_0$ Le sens direct est toujours vrai.
Réciproque: FausseContre-exemple : $x\mapsto|x|$ en $0$ .
Point anguleux: $f'_g(x_0)\neq f'_d(x_0)$ Deux demi-tangentes différentes.
Composée: $(g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\times f'(x_0)$ Formule utilisée toute l’année.

À retenir

Proposition 0.1

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ et $x_0$ un élément de $I$ . Si $f$ est dérivable en $x_0$ , alors $f$ est continue en $x_0$ .

À retenir

Remarque 0.2 : conséquence sur un intervalle

Dérivable sur $I$ signifie dérivable en tout point de $I$ ; de même, continue sur $I$ signifie continue en tout point de $I$ . Donc toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

Définition

Point anguleux

Si $f$ est dérivable à gauche et à droite en $x_0$ avec $f'_g(x_0)\neq f'_d(x_0)$ , la courbe $(C_f)$ admet au point $A(x_0;f(x_0))$ deux demi-tangentes de pentes différentes : on dit que $A$ est un point anguleux. Il n’y a pas une tangente unique en $A$ .

À retenir

Proposition 0.3

Soient $I$ et $J$ deux intervalles ouverts, $f:I\to\mathbb{R}$ et $g:J\to\mathbb{R}$ deux fonctions avec $f(I)\subset J$ , et $x_0\in I$ . Si $f$ est dérivable en $x_0$ et si $g$ est dérivable en $y_0=f(x_0)$ , alors $g\circ f$ est dérivable en $x_0$ et $(g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\times f'(x_0)$ .

formules du chapitre

f \text{ dérivable en } x_0 \iff \lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)\in\mathbb{R}

La limite existe et elle est FINIE : c’est ce qui fait marcher la preuve.

Équations des demi-tangentes (on part de y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀))

Demi-tangente à gauche $y=f'_g(x_0)(x-x_0)+f(x_0),\quad x\leq x_0$
Demi-tangente à droite $y=f'_d(x_0)(x-x_0)+f(x_0),\quad x\geq x_0$
Pour |x| à gauche $y=-1\times(x-0)+0=-x,\quad x\leq0$
Pour |x| à droite $y=1\times(x-0)+0=x,\quad x\geq0$

(g\circ f)'(x_0)=g'\big(f(x_0)\big)\times f'(x_0)

Dérivée de la fonction extérieure au point f(x₀), multipliée par la dérivée de la fonction intérieure en x₀.

Jarreb rassek.

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5 questions parmi les 153 du chapitre. Réponds, la correction s’affiche.

Question 1 sur 5
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0\in I$ . Quelle proposition est vraie ?
Pas tout à fait. Réponse : B
La vidéo établit que si $f$ est dérivable en $x_0$ , alors elle est continue en $x_0$ . La réciproque est fausse.
Question 2 sur 5
Quelles conditions permettent d’assurer que $f$ admet une fonction réciproque dérivable sur $J=f(I)$ ?
Pas tout à fait. Réponse : D
La vidéo indique que la continuité et la stricte monotonie assurent la bijectivité, tandis que la dérivabilité de $f$ avec $f'(x)\neq 0$ permet d’obtenir la dérivabilité de la réciproque.
Question 3 sur 5
Quelles conditions permettent d’appliquer le théorème de Rolle à une fonction $f$ sur $[a,b]$ ?
Pas tout à fait. Réponse : B
La vidéo rappelle que $f$ doit être continue sur l’intervalle fermé $[a,b]$ , dérivable sur l’intervalle ouvert $]a,b[$ et vérifier $f(a)=f(b)$ .
Question 4 sur 5
Quelles sont les conditions permettant d’appliquer le théorème des accroissements finis à $f$ sur $[a,b]$ avec $a<b$ ?
Pas tout à fait. Réponse : A
La vidéo rappelle que $f$ doit être continue sur l’intervalle fermé $[a,b]$ et dérivable sur l’intervalle ouvert $]a,b[$ .
Question 5 sur 5
Si $f$ est strictement croissante sur un intervalle $I$ , quelle propriété possède la fonction $-f$ sur $I$ ?
Pas tout à fait. Réponse : A
La vidéo précise que l’opposé d’une fonction strictement croissante est strictement décroissant. De même, l’opposé d’une fonction strictement décroissante est strictement croissant.

Kmmel tri9ek.

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Dérivabilité et inégalité trigonométrique

Fonction réciproque de x³+x

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Arctangente composée et constantes

Injectivité et croissance

Inégalités trigonométriques et TAF

Primitive de √(1−x²) et sinus

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Encadrement des accroissements

Inégalité des accroissements et arctan

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Remarque 0.2 : conséquence sur un intervalle

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