Quelle proposition reprend la définition d’une fonction numérique donnée dans la vidéo ?

Une fonction $f:D_f\to\mathbb{R}$ qui associe à tout $x\in D_f$ son image $f(x)$

Une fonction $f:\mathbb{R}\to D_f$ qui associe à chaque image un antécédent unique

Un réel fixe qui ne dépend pas de $x$

Un intervalle ouvert dont le centre a été retiré

Pour démontrer que $\lim_{x\to0}f(x)=1$ par définition, avec $f$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$, quel énoncé faut-il établir après avoir fixé $\varepsilon>0$ ?

Il existe $\alpha>0$, dépendant de $\varepsilon$, tel que, pour tout $x\in\mathbb{R}^{*}$, $|x-0|<\alpha$ entraîne $|f(x)-1|<\varepsilon$.

On choisit un même $\alpha$ indépendant de $\varepsilon$ pour tous les cas.

On prend directement $\varepsilon=0$ pour rendre l'écart nul.

On montre que $|f(x)-1|<\varepsilon$ entraîne $|x-0|<\alpha$.

Plusieurs réponses sont correctes. Sélectionne toutes les affirmations exactes pour la fonction $f(x)=\sin(x)/x$ et son prolongement au point 0.

La fonction initiale f n'est pas définie en 0.

La fraction définit déjà f(0) sans prolongement.

Quelles hypothèses permettent d’écrire $\lim_{x\to x_0}g\circ f(x)=g(ℓ)$ lorsque $\lim_{x\to x_0}f(x)=ℓ$ ?

La limite de f existe et est finie, et g est continue en ℓ.

f est continue sur I et g est continue sur tout ℝ, sans avoir besoin de connaître la limite de f.

La limite de f est infinie et g est discontinue en ℓ.

On sait seulement que f(I)⊂J.

Men l-fekra l 20/20.

Limites et continuité — Mathématiques 2ème Bac

Mathématiques
Sciences Mathématiques A et B

Le chapitre qui ouvre l’analyse en Sciences Mathématiques : la limite par définition et ses propriétés, la continuité en un point et sur un intervalle, le théorème des valeurs intermédiaires et la dichotomie, puis les fonctions réciproques, Arctan et la racine n-ième.

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Le cours11 leçons

Définition et propriétés des limites
Offerte18 min
Introduction aux fonctions numériques, voisinages pointés, distance sur ℝ, définition de la limite et propriétés usuelles des limites.
Unicité de la limite et limite de sin x/x
Offerte26 min
Preuve de l’unicité d’une limite, puis démonstration par définition de lim_{x→0} sin(x)/x=1.
Continuité en un point et prolongement
21 min
Définition de la continuité en un point, continuité à droite et à gauche, critère d’équivalence et prolongement par continuité à travers des exemples.
Continuité sur un intervalle et composition
31 min
Le cours généralise la continuité à différents intervalles, présente les opérations et la composition de fonctions continues, puis étudie l’image d’un segment et la notion de condition suffisante mais non nécessaire.
Somme géométrique et fonction bornée
26 min
Deux applications : calcul de limites à l’aide d’une somme géométrique, puis démonstration qu’une fonction continue sur ℝ et tendant vers 0 aux deux infinis est bornée.
Image d’un intervalle par une fonction continue
27 min
Le cours établit comment déterminer l’image d’intervalles par des fonctions continues strictement croissantes ou décroissantes, puis applique la méthode à deux fonctions.
TVI, unicité et méthode de dichotomie
22 min
Énoncé et interprétation du théorème des valeurs intermédiaires, existence et unicité des solutions, puis principe de la méthode de dichotomie.
TVI, dichotomie et image d’un intervalle
33 min
Deux applications : existence et unicité d’une solution par le théorème des valeurs intermédiaires, approximation par dichotomie, puis image d’un intervalle et étude d’une équation.
Fonction réciproque : propriétés et expression
25 min
Le cours présente les conditions d’existence d’une fonction réciproque, ses propriétés, la symétrie des courbes et une application de détermination de l’expression de la réciproque.
Fonction arctangente
21 min
Étude de la tangente sur ]−π/2, π/2[, construction de sa réciproque Arctan, propriétés, limites et valeurs usuelles.
Racine n-ième et puissances rationnelles
27 min
Le cours présente la fonction racine n-ième comme réciproque de x ↦ xⁿ, ses propriétés, la résolution de xⁿ = α, puis les règles des racines et la définition des puissances rationnelles.

Exercices corrigés en vidéo18

Exercice 1
Calcul de trois limites
Présentation de la série puis résolution de trois limites par expressions conjuguées, changement de variable et identités trigonométriques.
35 min
Exercice 2
Limite d’un produit trigonométrique
Résolution d’un exercice de limites par factorisation géométrique, changement de variable et calcul d’un produit de limites.
25 min
Exercice 3
Domaine et limite en zéro
Étude du domaine de définition, transformation algébrique de f et calcul de sa limite en zéro.
24 min
Exercice 4
Prolongeabilité par continuité
Étude de la fonction f(x)=1/x((1+x)^2000−1), simplification par factorisation, puis calcul de sa limite en 0.
8 min
Exercice 5
Moyenne pondérée et TVI
Résolution d’un exercice d’existence par analyse préalable, introduction d’une fonction auxiliaire, vérification de la continuité et étude des signes.
28 min
Exercice 6
Moyenne des valeurs par le TVI
Démonstration, par l’image d’un intervalle et le théorème des valeurs intermédiaires, de l’existence d’un c réalisant la moyenne des valeurs f(xᵢ).
17 min
Exercice 7
Somme de cosinus et TVI
Montrer que, pour n∈N*, l’équation cos(x)+cos(2x)+⋯+cos(nx)=0 admet au moins une solution dans [0,π], en étudiant une fonction continue et ses valeurs aux bornes.
19 min
Exercice 8
Périodicité et limite en +∞
Démonstration qu’une fonction périodique admettant une limite finie en +∞ est constante, puis application à sin x pour montrer qu’elle n’admet pas de limite en +∞.
36 min
Exercice 9
Fonction par morceaux et réciproque
Étude d’une fonction définie par morceaux : continuité, monotonie stricte, bijectivité et détermination de la fonction réciproque.
37 min
Exercice 10
Fonction arctangente et bijection
Étude de la continuité en 0, de la parité, de la monotonie, de la bijectivité, de la réciproque et d’une expression simplifiée de f.
46 min
Exercice 11
Somme d’arctangentes égale à π/4
Application progressive de la relation d’addition des arctangentes pour calculer arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/8).
6 min
Exercice 12
Équation avec arctangente
Étude de la positivité d’une expression d’arctangentes, transformation par les formules d’addition, puis démonstration que l’équation n’a pas de solution réelle.
11 min
Exercice 13
Formule d’addition des arctangentes
Démonstration de la relation pour ab<1, étude des cas de signes, puis discussion du cas ab>1 et des règles de rédaction.
28 min
Exercice 14
Équation de puissances
Le cours montre comment transformer une équation par équivalences successives, la résoudre grâce aux propriétés des puissances et conclure que l’ensemble des solutions est S = {3/2}.
14 min
Exercice 15
Puissances fractionnaires
Résolution guidée d’une égalité avec des puissances fractionnaires, suivie d’un rappel sur l’importance de maîtriser leurs propriétés.
11 min
Exercice 16
Somme télescopique et TVI
Étude de la fonction f_p, calcul d’une somme télescopique, puis application du théorème des valeurs intermédiaires pour obtenir un point c tel que f(c)=f(c+1/p).
30 min
Exercice 17
Limite de f(x)/x
Étude d’une fonction continue dont les accroissements unitaires tendent vers une limite réelle, puis déduction du comportement de f(x)/x.
46 min
Exercice 18
Signe constant et point d’égalité
Démonstration de la constance du signe d’une fonction continue, puis étude de deux fonctions continues commutatives sur [0,1], de leurs composées et de l’existence d’un point d’égalité.
48 min

L-mouhim f l-mouhim.

L’essentiel du cours

Les définitions, repères et formules des premières leçons, tirés des fiches du chapitre.

Fonction numérique: $f : D_f \to \mathbb{R}$ À tout $x$ de $D_f$ , elle associe l'image $f(x)$ .
Voisinage pointé: $\mathopen{]}x_0-r,\ x_0+r\mathclose{[} \setminus \{x_0\}$ Un intervalle autour de x₀, privé de x₀.
Distance: d(x, y) = |x − y|ℝ est un espace métrique.
Limite: ∀ε, ∃αProche de x₀ ⇒ image proche de ℓ.

Définition

Fonction numérique

Une fonction numérique est une fonction $f$ définie d'un ensemble $D_f$ vers $\mathbb{R}$ , qui à tout $x$ de $D_f$ associe son image $f(x)$ . Cette image est une valeur numérique.

Définition

Voisinage pointé de x₀

Soit $x_0$ un point fixé de $\mathbb{R}$ . Un voisinage pointé de $x_0$ s'écrit $O = \mathopen{]}x_0-r,\ x_0+r\mathclose{[} \setminus \{x_0\}$ , avec $r > 0$ : un intervalle ouvert centré en $x_0$ , privé de ce point.

Définition

Distance

ℝ est un espace métrique : on y définit une distance d, application de ℝ×ℝ dans ℝ, qui à un couple (x, y) associe d(x, y) = |x − y|. Comme |−u| = |u|, on peut aussi écrire |y − x|.

formules du chapitre

Exemple : f(x) = x²

Ensemble de définition $D_f=\mathbb{R}$
Image de 1 $f(1)=1$
Image de 2 $f(2)=4$

Rappel : centre d'un intervalle [a, b]

Centre $c=\frac{a+b}{2}$
Application $\frac{(x_0+r)+(x_0-r)}{2}=\frac{2x_0}{2}=x_0$

d(2,5)=\lvert 2-5\rvert=\lvert 5-2\rvert=3

3 est la distance entre 2 et 5.

\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\iff\forall\varepsilon>0,\ \exists\alpha>0,\ \forall x\in D_f,\ \lvert x-x_0\rvert<\alpha\Rightarrow\lvert f(x)-\ell\rvert<\varepsilon

ℓ appartient à ℝ. Toute la définition se lit avec les deux distances.

Jarreb rassek.

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5 questions parmi les 194 du chapitre. Réponds, la correction s’affiche.

Question 1 sur 5
Quelle proposition reprend la définition d’une fonction numérique donnée dans la vidéo ?
Pas tout à fait. Réponse : A
La vidéo définit une fonction numérique comme une fonction $f$ de $D_f$ vers $\mathbb{R}$ qui associe à chaque $x\in D_f$ son image $f(x)$ .
Question 2 sur 5
Pour démontrer que $\lim_{x\to0}f(x)=1$ par définition, avec $f$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$ , quel énoncé faut-il établir après avoir fixé $\varepsilon>0$ ?
Pas tout à fait. Réponse : A
Il faut trouver un $\alpha>0$ , qui peut dépendre de $\varepsilon$ , tel que, pour tout $x\in\mathbb{R}^{*}$ , la proximité de $x$ à 0 entraîne $|f(x)-1|<\varepsilon$ .
Question 3 sur 5
Plusieurs réponses sont correctes. Sélectionne toutes les affirmations exactes pour la fonction $f(x)=\sin(x)/x$ et son prolongement au point 0.
Pas tout à fait. Réponses : A, B, C
La fonction initiale n'est pas définie en 0, mais sa limite en 0 vaut 1. Le prolongement conserve f hors de 0 et prend la valeur 1 en 0.
Question 4 sur 5
Quelles hypothèses permettent d’écrire $\lim_{x\to x_0}g\circ f(x)=g(ℓ)$ lorsque $\lim_{x\to x_0}f(x)=ℓ$ ?
Pas tout à fait. Réponse : A
Il faut que la limite de f existe et soit finie, puis que g soit continue en ℓ. Le théorème s’étend ensuite aux limites latérales et à l’infini, mais ces deux conditions restent le cœur du résultat.
Question 5 sur 5
Pour $k$ entier strictement positif, quelle limite est obtenue pour $\frac{x^k-1}{x-1}$ lorsque $x$ tend vers $1$ ?
Pas tout à fait. Réponse : A
La somme associée comporte $k$ termes et le résultat annoncé dans la leçon est $\lim_{x\to1}\frac{x^k-1}{x-1}=k$ .

Kmmel tri9ek.

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Définition et propriétés des limites

Unicité de la limite et limite de sin x/x

Continuité en un point et prolongement

Continuité sur un intervalle et composition

Somme géométrique et fonction bornée

Image d’un intervalle par une fonction continue

TVI, unicité et méthode de dichotomie

TVI, dichotomie et image d’un intervalle

Fonction réciproque : propriétés et expression

Fonction arctangente

Racine n-ième et puissances rationnelles

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Calcul de trois limites

Limite d’un produit trigonométrique

Domaine et limite en zéro

Prolongeabilité par continuité

Moyenne pondérée et TVI

Moyenne des valeurs par le TVI

Somme de cosinus et TVI

Périodicité et limite en +∞

Fonction par morceaux et réciproque

Fonction arctangente et bijection

Somme d’arctangentes égale à π/4

Équation avec arctangente

Formule d’addition des arctangentes

Équation de puissances

Puissances fractionnaires

Somme télescopique et TVI

Limite de f(x)/x

Signe constant et point d’égalité

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